Np cov

Задание 3 *

Функции генерации псевдослучайных чисел

Changes

Remove handling of extra argument to

A code path and test have been in the code since NumPy 0.4 for a
two-argument variant of . It was
activated when calling or if existed. However that variant is not documented, and it
is not clear what the intention was for its use. It has been removed.

(gh-15118)

Cython access to the random distributions is provided via a file

provides access to the c functions behind many of
the random distributions from Cython, making it convenient to use and
extend them.

(gh-15463)

Fixed and methods in

Previously, when passing or , produced samples from the wrong
distribution. This is now fixed.

(gh-15872)

Fixed the jumping implementation in

This fix changes the stream produced from jumped MT19937 generators. It
does not affect the stream produced using or
that are directly seeded.

The translation of the jumping code for the MT19937 contained a reversed
loop ordering. matches the Makoto Matsumoto’s original
implementation of the Horner and Sliding Window jump methods.

(gh-16153)

ковариации

По вероятности ковариация является мерой совместной вероятности для двух случайных величин. Он описывает, как две переменные изменяются вместе.

Он обозначается как функция cov (X, Y), где X и Y — две рассматриваемые случайные величины.

Ковариация рассчитывается как ожидаемое значение или среднее значение произведения разностей каждой случайной величины от их ожидаемых значений, где E — ожидаемое значение для X, а E — ожидаемое значение y.

Предполагая, что ожидаемые значения для X и Y были рассчитаны, ковариацию можно рассчитать как сумму разности значений x от их ожидаемого значения, умноженную на разницу значений y от их ожидаемых значений, умноженную на обратную величину числа примеры в популяции.

В статистике ковариацию выборки можно рассчитать таким же образом, хотя и с поправкой на смещение, так же, как и с дисперсией.

Знак ковариации можно интерпретировать как то, увеличиваются ли две переменные вместе (положительно) или уменьшаются вместе (отрицательно). Величина ковариации не легко интерпретируется. Нулевое значение ковариации указывает, что обе переменные полностью независимы.

NumPy не имеет функции для вычисления ковариации между двумя переменными напрямую. Вместо этого у него есть функция для вычисления ковариационной матрицы с именем cov (), которую мы можем использовать для получения ковариации. По умолчанию функция cov () вычисляет несмещенную или выборочную ковариацию между предоставленными случайными величинами.

В приведенном ниже примере определены два вектора одинаковой длины с одним возрастающим и одним убывающим. Мы ожидаем, что ковариация между этими переменными будет отрицательной.

Мы получаем доступ только к ковариации для двух переменных, так как возвращается элемент квадратной ковариационной матрицы.

При запуске примера сначала печатаются два вектора, за которыми следует ковариация значений в двух векторах. Значение является отрицательным, как мы и ожидали.

Ковариация может быть нормализована до значения от -1 до 1, чтобы сделать величину интерпретируемой путем деления ее на стандартное отклонение X и Y. Результат называется корреляцией переменных, также называемой коэффициентом корреляции Пирсона, названным для разработчик метода.

Где r — коэффициент корреляции X и Y, cov (X, Y) — выборочная ковариация X и Y, а sX и sY — стандартные отклонения X и Y соответственно.

NumPy предоставляет функцию corrcoef () для непосредственного расчета корреляции между двумя переменными. Как и cov (), он возвращает матрицу, в данном случае корреляционную матрицу. Как и в случае результатов cov (), мы можем получить доступ только к корреляции интересов из значения из возвращенной квадратной матрицы.

При запуске примера сначала печатаются два заданных вектора, за которыми следует коэффициент корреляции. Мы можем видеть, что векторы максимально отрицательно коррелированы, как мы спроектировали.

Функции перемешивания элементов массива

Следующие две
функции:

np.random.shuffle() и np.random.permutation()

перемешивают
случайным образом элементы массива. Например, дан массив:

a = np.arange(10) # array()

И нам требуется
перетасовать его элементы. В самом простом случае, это делается так:

np.random.shuffle(a) # array()

Причем, здесь
меняется сам массив a. Если вызвать эту функцию еще раз:

np.random.shuffle(a) # array()

то значения еще
раз перетасуются. Но, работает она только с первой осью axis0. Например,
если взять двумерный массив:

a = np.arange(1, 10).reshape(3, 3)

и вызвать эту
функцию:

np.random.shuffle(a)

то в массиве aбудут
переставлены только строки:

array(,

      
,

])

Вторая функция
возвращает случайную последовательность чисел, генерируя последовательность «на
лету»:

np.random.permutation(10) # array()

Conclusion

Интерпретация

Взятие образца с задней стенки ротоглотки представляет собой неинвазивное исследование, что более приемлемо для пациентов и медицинских работников. В отличие от тяжелого острого респираторного синдрома (SARS), пациенты с COVID-19 имели самую высокую вирусную нагрузку уже при начальных проявлениях симптомов, что может объяснять природу быстрого распространения этой эпидемии

Это открытие подчеркивает важность строгого инфекционного контроля и раннего использования сильнодействующих противовирусных препаратов (по отдельности или в комбинации) для лиц с повышенным риском. Для диагностики серологический анализ может быть дополнен ОT-кПЦР

Введение

Коронавирусная болезнь 2019 года (COVID-19), вызванная коронавирусом 2 тяжелого острого респираторного синдрома (SARS-CoV-2), впервые была зарегистрирована в Китае в декабре 2019 года. Хотя инфекции, вызванные коронавирусом ближневосточного респираторного синдрома (MERS-CoV) и коронавирусом тяжелого острого респираторного синдрома (SARS-CoV), имеют более высокую смертность, чем COVID-19, SARS-CoV-2 распространяется гораздо быстрее, чем MERS-CoV и SARS-CoV. Для проведения противовирусной терапии, инфекционного контроля, эпидемиологических мер, вакцинации срочно понадобились надежные данные по профилям вирусной нагрузки и титров антител.

Пиковая вирусная нагрузка у пациентов с инфекциями MERS-CoV и SARS-CoV наступает примерно через 7–10 дней после появления симптомов, что может быть связано с внутрибольничными вспышками с участием работников здравоохранения. Клинические исследования противовирусных препаратов при ОРВИ показали, что вирусная нагрузка значительно уменьшалась одновременно с успехом лечения.

Нет систематического исследования этих двух важных переменных с помощью статистического анализа для SARS-CoV-2, хотя были опубликованы предварительные описательные исследования.

В большинстве исследований респираторных вирусных инфекций для мониторинга вирусной нагрузки используется серия мазков из носоглотки или зева. Однако забор мазков из носоглотки или зева может вызвать кашель и чихание, что приводит к образованию аэрозоля и представляет потенциальную опасность для здоровья работников здравоохранения. Забор мазков из горла также требует непосредственного осмотра задней стенки глотки и миндалин пациента. Кроме того, забор образцов из носоглотки является относительно инвазивной и дискомфортной процедурой, которая может даже вызвать кровотечение. Нежелание пациентов предоставлять образец может объяснить нехватку временных точек в исследованиях вирусной нагрузки респираторных вирусных инфекций.

Результаты предыдущих исследований показали высокую степень конкордантности между слюной и аспиратом носоглотки в качестве образцов для лабораторной диагностики респираторных вирусов. Мы сообщали об использовании образцов с задней стенки ротоглотки (глубокие отделы глотки) для диагностики и мониторинга вирусной нагрузки в когорте из 12 пациентов с COVID-19. Здесь мы сообщаем об использовании для мониторинга вирусной нагрузки самостоятельно собранных образцов с задней стенки ротоглотки пациентов с COVID-19, что позволяет избежать тесного контакта между работниками здравоохранения и пациентами. Также мы контролировали серийные уровни сывороточных антител пациентов.

Агрегирование в NumPy

Дополнительным преимуществом NumPy является наличие в нем функций агрегирования:

Функциями , и дело не ограничивается.

К примеру:

• позволяет получить среднее арифметическое;
• выдает результат умножения всех элементов;
• нужно для среднеквадратического отклонения.

Это лишь небольшая часть довольно обширного списка функций агрегирования в NumPy.

Использование нескольких размерностей NumPy

Все перечисленные выше примеры касаются векторов одной размерности. Главным преимуществом NumPy является его способность использовать отмеченные операции с любым количеством размерностей.

Практическое задание NumPy

Обработка текста в NumPy на примерах

Когда дело доходит до текста, подход несколько меняется. Цифровое представление текста предполагает создание некого , то есть инвентаря всех уникальных слов, которые бы распознавались моделью, а также векторно  (embedding step). Попробуем представить в цифровой форме цитату из стихотворения арабского поэта Антара ибн Шаддада, переведенную на английский язык:

“Have the bards who preceded me left any theme unsung?” 

Перед переводом данного предложения в нужную цифровую форму модель должна будет проанализировать огромное количество текста. Здесь можно обработать небольшой набор данный, после чего использовать его для создания словаря из 71 290 слов.

Предложение может быть разбито на массив токенов, что будут словами или частями слов в зависимости от установленных общих правил:

Затем в данной таблице словаря вместо каждого слова мы ставим его :

Однако данные все еще не обладают достаточным количеством информации о модели как таковой. Поэтому перед передачей последовательности слов в модель токены/слова должны быть заменены их векторными представлениями. В данном случае используется 50-мерное векторное представление Word2vec.

Здесь ясно видно, что у массива NumPy есть несколько размерностей . На практике все выглядит несколько иначе, однако данное визуальное представление более понятно для разъяснения общих принципов работы.

Для лучшей производительности модели глубокого обучения обычно сохраняют первую размерность для пакета. Это происходит из-за того, что тренировка модели происходит быстрее, если несколько примеров проходят тренировку параллельно. Здесь особенно полезным будет . Например, такая модель, как BERT, будет ожидать ввода в форме: .

Теперь мы получили числовой том, с которым модель может работать и делать полезные вещи. Некоторые строки остались пустыми, однако они могут быть заполнены другими примерами, на которых модель может тренироваться или делать прогнозы.

(На заметку: Поэма, строчку из которой мы использовали в примере, увековечила своего автора в веках. Будучи незаконнорожденным сыном главы племени от рабыни, Антара ибн Шаддан мастерски владел языком поэзии. Вокруг исторической фигуры поэта сложились мифы и легенды, а его стихи стали частью классической арабской литературы).

Арифметические операции над массивами NumPy

Создадим два массива NumPy и продемонстрируем выгоду их использования.

Массивы будут называться и :

При сложении массивов складываются значения каждого ряда. Это сделать очень просто, достаточно написать :

Новичкам может прийтись по душе тот факт, что использование абстракций подобного рода не требует написания циклов for с вычислениями. Это отличная абстракция, которая позволяет оценить поставленную задачу на более высоком уровне.

Помимо сложения, здесь также можно выполнить следующие простые арифметические операции:

Довольно часто требуется выполнить какую-то арифметическую операцию между массивом и простым числом. Ее также можно назвать операцией между вектором и скалярной величиной. К примеру, предположим, в массиве указано расстояние в милях, и его нужно перевести в километры. Для этого нужно выполнить операцию :

Как можно увидеть в примере выше, NumPy сам понял, что умножить на указанное число нужно каждый элемент массива. Данный концепт называется трансляцией, или broadcating. Трансляция бывает весьма полезна.

Deprecations

Deprecate automatic for ragged input

Passing to factory functions in is deprecated

is treated as a special case and is aliased to in the
functions:

In future, will not be special cased, and will be treated as an
array length like any other integer.

(gh-15217)

Deprecation of probably unused C-API functions

The following C-API functions are probably unused and have been
deprecated:

In most cases should be replaced by
converting to an array, while can be replaced
with (see documentation for details).

(gh-15427)

Converting certain types to dtypes is Deprecated

The super classes of scalar types, such as , ,
or will now give a deprecation warning when converted to a
dtype (or used in a dtype keyword argument). The reason for this is that is converted to , while it would be expected to
represent any integer (e.g. also , , etc. For example, is currently identical to , even
though also is a subclass of .

(gh-15534)

Deprecation of for scalars

Output of the dunder method and consequently the Python
built-in has been deprecated on complex scalars. This does not
affect .

(gh-15840)

is deprecated in favor of

has existed since the 1.9 release, but until
this release emitted no warning. The change to
emit a warning brings NumPy in line with the builtin
methods of the same name.

(gh-15867)

Expired deprecations

Функции математической статистики

Последняя группа
общематематических функций, которую мы рассмотрим на этом занятии, отвечает за
вычисления статистических характеристик случайных величин. Основные из них,
следующие:

Название	Описание
np.median(x)	Вычисление медианы величин x
np.var(x)	Дисперсия величин x
np.std(x)	Среднеквадратическое отклонение величин x
np.corrcoef(x)	Линейный коэффициент корреляции Пирсона
np.correlate(x)	Вычисление кросс-корреляции
np.cov(x)	Вычисление ковариационной матрицы

Рассмотрим
работу этих функций. Предположим, имеются следующие векторы:

x = np.array(1, 4, 3, 7, 10, 8, 14, 21, 20, 23)
y = np.array(4, 1, 6, 9, 13, 11, 16, 19, 15, 22)

Эти числа будем
воспринимать как реализации случайных величин X и Y. Тогда, для
вычисления медианы СВX, можно воспользоваться функцией:

np.median(x) # 9.0

Для расчета
дисперсии и СКО, функциями:

np.var(x) # дисперсия СВX на основе реализации x
np.std(y) # СКО СВY на основе реализации y

Далее, чтобы
рассчитать коэффициент корреляции Пирсона, объединим массивыx и y построчно:

XY = np.vstack(x, y) # матрица 2x10

и выполним
функцию:

np.corrcoef(XY)

Результатом
будет матрица 2×2:

array(,

      
])

Как ее следует
интерпретировать? В действительности, это автоковариационная матрица вектора СВ:

(В этой формуле
полагается, что СВX и Y центрированы, то есть имеют нулевое
математическое ожидание).

Если нужно
вычислить не нормированное МО, то есть, автоковариационную матрицу, то следует
воспользоваться функцией:

np.cov(XY) # ковариационная матрица размерностью 2x2

Наконец, для
вычисления взаимной корреляции между двумя векторамиx и y, используется
функция:

np.correlate(x, y) # array()

Более детальную
информацию по этим статистическим функциям можно найти в официальной
документации пакета NumPy:

Конечно, мы
рассмотрели далеко не все математические функции NumPy. На следующем
занятии продолжим эту тему и поговорим об умножении векторов и матриц, линейной
алгебре и множествах.

Видео по теме

#1. Пакет numpy — установка и первое знакомство | NumPy уроки

#2. Основные типы данных. Создание массивов функцией array() | NumPy уроки

#3. Функции автозаполнения, создания матриц и числовых диапазонов | NumPy уроки

#4. Свойства и представления массивов, создание их копий | NumPy уроки

#5. Изменение формы массивов, добавление и удаление осей | NumPy уроки

#6. Объединение и разделение массивов | NumPy уроки

#7. Индексация, срезы, итерирование массивов | NumPy уроки

#8. Базовые математические операции над массивами | NumPy уроки

#9. Булевы операции и функции, значения inf и nan | NumPy уроки

#10. Базовые математические функции | NumPy уроки

#11. Произведение матриц и векторов, элементы линейной алгебры | NumPy уроки

#12. Множества (unique) и операции над ними | NumPy уроки

#13. Транслирование массивов | NumPy уроки

New Features

Improve detection of CPU features

Replace which was a gcc specific mechanism to test
support of AVX with more general functions and, and expose the results via a c-macro as
well as a python-level dictionary.

(gh-13421)

Use 64-bit integer size on 64-bit platforms in fallback lapack_lite

Use 64-bit integer size on 64-bit platforms in the fallback LAPACK
library, which is used when the system has no LAPACK installed, allowing
it to deal with linear algebra for large arrays.

(gh-15218)

Use AVX512 intrinsic to implement when input is

Use AVX512 intrinsic to implement when input is ,
which can improve the performance of with input
5-7x faster than before. The module has grown
about 63 KB on linux64.

(gh-15648)

Ability to disable madvise hugepages

On Linux NumPy has previously added support for madavise hugepages which
can improve performance for very large arrays. Unfortunately, on older
Kernel versions this led to peformance regressions, thus by default the
support has been disabled on kernels before version 4.6. To override the
default, you can use the environment variable:

or set it to 1 to force enabling support. Note that this only makes a
difference if the operating system is set up to use madvise transparent
hugepage.

(gh-15769)

accepts NumPy type in subscript list

There is no longer a type error thrown when is passed a
NumPy array as its subscript list.

(gh-16080)

* Дополнительные задания:

New functions

Решение системы линейных уравнений

7.5. Дискретное преобразование Фурье

Если данные в ваших массивах — это сигналы: звуки, изображения, радиоволны, котировки акций и т.д., то вам наверняка понадобится дискретное преобразование Фурье. В NumPy представлены методы быстрого дискретного преобразования Фурье для одномерных, двумерных и многомерных сигналов, а так же некоторые вспомогательные функции. Рассмотрим некоторые простые примеры.

Одномерное дискретное преобразование Фурье:

Двумерное дискретное преобразование Фурье:

Очень часто при спектральном анализе используются оконные функции (оконное преобразование Фурье), некоторые из которых так же представлены в NumPy

Performance improvements and changes

Enable multi-platform SIMD compiler optimizations

A series of improvements for NumPy infrastructure to pave the way toNEP-38, that can be summarized as follow:

• New Build Arguments

  • to specify the minimal set of required
    optimizations, default value is which provides the minimum
    CPU features that can safely run on a wide range of users
    platforms.
  • to specify the dispatched set of additional
    optimizations, default value is which enables
    all CPU features, except for AMD legacy features.
  • to explicitly disable the whole new
    improvements, It also adds a new C compiler #definition
    called which it can be used as guard
    for any SIMD code.

• Advanced CPU dispatcher

  A flexible cross-architecture CPU dispatcher built on the top of
  Python/Numpy distutils, support all common compilers with a wide
  range of CPU features.

  The new dispatcher requires a special file extension
  to mark the dispatch-able C sources. These sources have the
  ability to be compiled multiple times so that each compilation
  process represents certain CPU features and provides different
  #definitions and flags that affect the code paths.

• New auto-generated C header
  «core/src/common/_cpu_dispatch.h«

  This header is generated by the distutils module ,
  and contains all the #definitions and headers of instruction sets,
  that had been configured through command arguments
  ‘—cpu-baseline’ and ‘—cpu-dispatch’.

• New C header «core/src/common/npy_cpu_dispatch.h«

  This header contains all utilities that required for the whole CPU
  dispatching process, it also can be considered as a bridge linking
  the new infrastructure work with NumPy CPU runtime detection.

• Add new attributes to NumPy umath module(Python level)

  • a list contains the minimal set of required
    optimizations that supported by the compiler and platform
    according to the specified values to command argument
    ‘—cpu-baseline’.
  • a list contains the dispatched set of
    additional optimizations that supported by the compiler and
    platform according to the specified values to command argument
    ‘—cpu-dispatch’.

• Print the supported CPU features during the run of PytestTester

(gh-13516)

отклонение

По вероятности, дисперсия некоторой случайной величины X является мерой того, насколько значения в распределении варьируются в среднем по отношению к среднему.

Дисперсия обозначается как функция Var () для переменной.

Дисперсия рассчитывается как среднеквадратическая разница каждого значения в распределении от ожидаемого значения. Или ожидаемое квадратичное отличие от ожидаемого значения.

Предполагая, что ожидаемое значение переменной было вычислено (E ), дисперсия случайной величины может быть рассчитана как сумма квадратов разности каждого примера от ожидаемого значения, умноженного на вероятность этого значения.

Если вероятность каждого примера в распределении равна, вычисление дисперсии может отбросить отдельные вероятности и умножить сумму квадратов разностей на обратную величину количества примеров в распределении.

В статистике дисперсию можно оценить из выборки примеров, взятых из домена.

В реферате выборочная дисперсия обозначается сигмой в нижнем регистре с 2 верхними индексами, указывающими, что единицы возведены в квадрат, а не то, что вы должны возвести в квадрат окончательное значение. Сумма квадратов разностей умножается на обратную величину количества примеров минус 1, чтобы скорректировать смещение.

В NumPy дисперсию можно рассчитать для вектора или матрицы с помощью функции var (). По умолчанию функция var () вычисляет дисперсию населения. Чтобы вычислить выборочную дисперсию, вы должны установить аргумент ddof в значение 1.

В приведенном ниже примере определяется 6-элементный вектор и вычисляется выборочная дисперсия.

При выполнении примера сначала печатается определенный вектор, а затем вычисленная выборочная дисперсия значений в векторе

Функция var может вычислить дисперсию строки или столбца матрицы, указав аргумент оси и значение 0 или 1 соответственно, то же самое, что и средняя функция выше.

В приведенном ниже примере определяется матрица 2 × 6 и рассчитывается выборочная дисперсия столбца и строки.

При выполнении примера сначала печатается определенная матрица, а затем значения дисперсии выборки столбца и строки.

Стандартное отклонение рассчитывается как квадратный корень из дисперсии и обозначается строчными буквами «s».

Чтобы придерживаться этого обозначения, иногда дисперсия обозначается как s ^ 2, где 2 — верхний индекс, снова показывая, что единицы возведены в квадрат.

NumPy также предоставляет функцию для вычисления стандартного отклонения напрямую через функцию std (). Как и в случае функции var (), аргумент ddof должен быть установлен в 1 для расчета стандартного отклонения несмещенной выборки, а стандартные отклонения столбца и строки можно рассчитать, установив аргумент оси в 0 и 1 соответственно.

В приведенном ниже примере показано, как рассчитать стандартное отклонение выборки для строк и столбцов матрицы.

При выполнении примера сначала печатается определенная матрица, а затем значения стандартного отклонения выборки столбца и строки.

Пациенты

Функции sum, mean, min и max

* Задание 4

Другие интересные функции Scipy

Транспонирование и изменение формы матриц в numpy

Нередки случаи, когда нужно повернуть матрицу. Это может потребоваться при вычислении скалярного произведения двух матриц. Тогда возникает необходимость наличия совпадающих размерностей. У массивов NumPy есть полезное свойство под названием , что отвечает за транспонирование матрицы.

Некоторые более сложные ситуации требуют возможности переключения между размерностями рассматриваемой матрицы. Это типично для приложений с машинным обучением, где некая модель может запросить определенную форму вывода, которая является отличной от формы начального набора данных. В таких ситуациях пригодится метод из NumPy. Здесь от вас требуется только передать новые размерности для матрицы. Для размерности вы можете передать , и NumPy выведет ее верное значение, опираясь на данные рассматриваемой матрицы:

Еще больше размерностей NumPy

NumPy может произвести все вышеперечисленные операции для любого количества размерностей. Структура данных, расположенных центрально, называется , или n-мерным массивом.

В большинстве случаев для указания новой размерности требуется просто добавить запятую к параметрам функции NumPy:

Shell

array(,
,
],

,
,
],

,
,
],

,
,
]])

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

array(1.,1., 1.,1., 1.,1., 1.,1., 1.,1., 1.,1., 1.,1., 1.,1., 1.,1., 1.,1., 1.,1., 1.,1.)

Методы

Процедуры

Примеры работы с NumPy

Тригонометрические функции

Конечно, любой
состоятельный математический пакет должен иметь в своем составе
тригонометрические функции и NumPyздесь не исключение. Наиболее
употребительные из них приведены в следующей таблице:

Название	Описание
np.sin(x)	Вычисление синуса угла x (в радианах); xможет быть числом, списком, массивом (это правило распространяется на все функции этой таблицы).
np.cos(x)	Вычисление косинуса угла(ов) x.
np.tan(x)	Вычисление тангенса угла(ов) x.
np.arccos(x)	Арккосинус угла(ов) x.
np.arcsin(x)	Арксинус угла(ов) x.
np.arctan(x)	Арктангенс угла(ов) x.

Их использование
также вполне очевидно. На входе они могут принимать массив, список или число.
Если это угол, то он представляется в радианах. Например:

a = np.linspace(, np.pi, 10)
res1 = np.sin(a) # возвращает массив синусов углов
np.sin(np.pi/3)
np.cos(, 1.57, 3.17)
res2 = np.cos(a) # возвращает массив косинусов углов
np.arcsin(res1) # возвращает арксинусы от значений res1

Причем, все эти
функции работают быстрее аналогичных функций языка Python. Поэтому, при
использовании библиотеки NumPy предпочтение лучше отдавать именно ей,
а не языку Python при
тригонометрических вычислениях.