Примеры расчетов функций ковариация.в и ковариация.г в excel

Корреляционный анализ

Корреляционный анализ — метод обработки статистических данных, с помощью которого измеряется теснота связи между двумя или более переменными. Корреляционный анализ тесно связан с регрессионным анализом (также часто встречается термин «корреляционно-регрессионный анализ», который является более общим статистическим понятием), с его помощью определяют необходимость включения тех или иных факторов в уравнение множественной регрессии, а также оценивают полученное уравнение регрессии на соответствие выявленным связям (используя коэффициент детерминации).

Ограничения корреляционного анализа

Множество корреляционных полей. Распределения значений (x,y){\displaystyle (x,y)} с соответствующими коэффициентами корреляций для каждого из них. Коэффициент корреляции отражает «зашумлённость» линейной зависимости (верхняя строка), но не описывает наклон линейной зависимости (средняя строка), и совсем не подходит для описания сложных, нелинейных зависимостей (нижняя строка). Для распределения, показанного в центре рисунка, коэффициент корреляции не определен, так как дисперсия y равна нулю.

1. Применение возможно при наличии достаточного количества наблюдений для изучения. На практике считается, что число наблюдений должно не менее чем в 5-6 раз превышать число факторов (также встречается рекомендация использовать пропорцию, не менее чем в 10 раз превышающую количество факторов). В случае если число наблюдений превышает количество факторов в десятки раз, в действие вступает закон больших чисел, который обеспечивает взаимопогашение случайных колебаний.
2. Необходимо, чтобы совокупность значений всех факторных и результативного признаков подчинялась многомерному нормальному распределению. В случае если объём совокупности недостаточен для проведения формального тестирования на нормальность распределения, то закон распределения определяется визуально на основе корреляционного поля. Если в расположении точек на этом поле наблюдается линейная тенденция, то можно предположить, что совокупность исходных данных подчиняется нормальному закону распределения.
3. Исходная совокупность значений должна быть качественно однородной.
4. Сам по себе факт корреляционной зависимости не даёт основания утверждать, что одна из переменных предшествует или является причиной изменений, или то, что переменные вообще причинно связаны между собой, а не наблюдается действие третьего фактора.

Область применения

Данный метод обработки статистических данных весьма популярен в экономике, астрофизике и социальных науках (в частности в психологии и социологии), хотя сфера применения коэффициентов корреляции обширна: контроль качества промышленной продукции, металловедение, агрохимия, гидробиология, биометрия и прочие. В различных прикладных отраслях приняты разные границы интервалов для оценки тесноты и значимости связи.

Популярность метода обусловлена двумя моментами: коэффициенты корреляции относительно просты в подсчете, их применение не требует специальной математической подготовки. В сочетании с простотой интерпретации, простота применения коэффициента привела к его широкому распространению в сфере анализа статистических данных.

Ковариация

Использование функций КОВАР, КОВАРИАЦИЯ.В и КОВАРИАЦИЯ.Г в Excel

Пример 1. В таблице Excel содержится два диапазона данных, значения первого из которых характеризуют количество прочитанных книг за год каждым учеником, отобранным из нескольких классов школы, а второй – итоговую оценку по литературе по 10-бальной шкале. Определить коэффициент ковариации двух диапазонов данных.

Вид исходной таблицы:

Поскольку для анализа были отобраны по несколько учеников различных классов, оба диапазона можно считать выборками из генеральной совокупности, которой являются все ученики 9-го класса данной школы. Используем следующую функцию:

Описание аргументов:

• B3:B14 – диапазон ячеек, содержащих данные о количестве прочитанных книг;
• C3:C14 – диапазон ячеек с итоговыми оценками по предмету.

Полученный результат:

Полученное значение свидетельствует о наличии прямой связи между значениями из двух диапазонов. То есть, можно полагать, что ученик, прочитавший большее количество книг, получит более высокую оценку за предмет.

Построение парной регрессионной модели

Рекомендации к решению контрольной работы.

Статистические данные по экономике можно получить на странице Россия в цифрах.
После определения зависимой и объясняющих переменных можно воспользоваться сервисом Множественная регрессия. Регрессионную модель с 2-мя объясняющими переменными можно построить используя матричный метод нахождения параметров уравнения регрессии или метод Крамера для нахождения параметров уравнения регрессии.

Пример №3. Исследуется зависимость размера дивидендов y акций группы компаний от доходности акций x₁, дохода компании x₂ и объема инвестиций в расширение и модернизацию производства x₃. Исходные данные представлены выборкой объема n=50.

Тема I. Парная линейная регрессия
Постройте парные линейные регрессии — зависимости признака y от факторов x₁, x₂, x₃ взятых по отдельности. Для каждой объясняющей переменной:

1. Постройте диаграмму рассеяния (поле корреляции). При построении выберите тип диаграммы «Точечная» (без отрезков, соединяющих точки).
2. Вычислите коэффициенты уравнения выборочной парной линейной регрессии (для вычисления коэффициентов регрессии воспользуйтесь встроенной функцией ЛИНЕЙН (функция находится в категории «Статистические») или надстройкой Пакет Анализа), коэффициент детерминации, коэффициент корреляции (функция КОРЕЛЛ), среднюю ошибку аппроксимации .
3. Запишите полученное уравнение выборочной регрессии. Дайте интерпретацию найденным в предыдущем пункте значениям.
4. Постройте на поле корреляции прямую линию выборочной регрессии по точкам .
5. Постройте диаграмму остатков.
6. Проверьте статистическую значимость коэффициентов регрессии по критерию Стьюдента (табличное значение определите с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР) и всего уравнения в целом по критерию Фишера (табличное значение F_табл определите с помощью функции FРАСПОБР).
7. Постройте доверительные интервалы для коэффициентов регрессии. Дайте им интерпретацию.
8. Постройте прогноз для значения фактора, на 50% превышающего его среднее значение.
9. Постройте доверительный интервал прогноза. Дайте ему экономическую интерпретацию.
10. Оцените полученные результаты — сделайте выводы о качестве построенной модели, влиянии рассматриваемого фактора на показатель.

Тема II. Множественная линейная регрессия
1. Постройте выборочную множественную линейную регрессию показателя на все указанные факторы. Запишите полученное уравнение, дайте ему экономическую интерпретацию.
2. Определите коэффициент детерминации, дайте ему интерпретацию. Вычислите среднюю абсолютную ошибку аппроксимации и дайте ей интерпретацию.
3. Проверьте статистическую значимость каждого из коэффициентов и всего уравнения в целом.
4. Постройте диаграмму остатков.
5. Постройте доверительные интервалы коэффициентов. Для статистически значимых коэффициентов дайте интерпретации доверительных интервалов.
6. Постройте точечный прогноз значения показателя yпри значениях факторов, на 50% превышающих их средние значения.
7. Постройте доверительный интервал прогноза, дайте ему экономическую интерпретацию.
8. Постройте матрицу коэффициентов выборочной корреляции между показателем и факторами. Сделайте вывод о наличии проблемы мультиколлинеарности.
9. Оцените полученные результаты — сделайте выводы о качестве построенной модели, влиянии рассматриваемых факторов на показатель.

Как оценивать ковариацию и корреляцию доходности?

Часто мы делаем прогнозы на основе исторической ковариации или используем другие методы, основанные на исторических данных о доходности, такие как регрессионная модель рынка.

Мы также можем рассчитать ковариацию, используя функцию совместной вероятности случайных величин, если ее можно оценить.

Функция совместной вероятности (англ. ‘joint probability function’) двух случайных величин X и Y, обозначенная как P(X, Y), дает вероятность совместного появления значений X и Y. Например, P(3,2) — это вероятность того, что X равен 3 и Y равен 2.

Предположим, что функция совместной вероятности доходности акций BankCorp(RA) и доходностей акций NewBank(RB) имеет простую структуру, приведенную в Таблице 12.

Ожидаемая доходность акций BankCorp составляет 0.20(25%) + 0.50(12%) + 0.30(10%) = 14%. Ожидаемая доходность акций NewBank составляет 0.20(20%) + 0.50(16%) + 0.30(10%) = 15%.

Функция совместной вероятности, приведенная выше, может отражать анализ, основанный на том, является ли состояние банковской отрасли хорошим, средним или плохим.

В таблице 13 представлен расчет ковариации.

Примечание. Ожидаемая доходность для BankCorp составляет 14%, а для NewBank — 15%.

Первый и второй столбцы чисел показывают, соответственно, отклонения доходности BankCorp и NewBank от их среднего или ожидаемого значения.

В следующем столбце показано произведение отклонений. Например, для хорошего состояния отрасли (25–14)(20–15) = 11(5) = 55.

Затем 55 умножается на 0.20 или взвешивается на вероятность того, что условия банковской отрасли являются хорошими: 55(0.20) = 11.

Расчеты для средних и плохих банковских условий выполняются по той же схеме. Суммируя эти взвешенные по вероятности произведения, получим, что \(\textrm{Cov}(R_A,R_B) = 16.

Формула для вычисления ковариации между случайными переменными \(R_A\) и \(R_B\) имеет вид:

\( \textrm{Cov}(R_A,R_B) = \sum_{i} \sum_{j} P(R_{A,j},R_{B,j})(R_{A,j} — ER_A)(R_{B,j} — ER_B) \)(формула 18)

Формула предписывает нам суммировать все возможные отклонения перекрестных произведений, взвешенных по соответствующей совместной вероятности.

В этом примере, как показано в Таблице 12, только три совместные вероятности отличны от нуля. Следовательно, при вычислении ковариации доходности в этом случае нам нужно учитывать только три перекрестных произведения:

\( \begin{aligned}     \textrm{Cov}(R_A,R_B) &= P(25,20) \big \\    &+ P(12,16) \big \\ &+ P(10,10) \big \\    &= 0,20(11)(5) + 0,50(-2)(1) + 0,30(-4)(- 5) \\     &= 11 — 1 + 6 = 16     \end{aligned} \)

Одной из тем этого чтения была независимость событий. Две случайные переменные являются независимыми, когда каждая возможная пара событий (одно событие, соответствующее значению X, и другое событие, соответствующее значению Y) — являются независимыми событиями. Когда две случайные величины независимы, их функция совместной вероятности упрощается.

Как вы можете рассчитать корреляцию с помощью Excel? — 2019

a:

Корреляция измеряет линейную зависимость двух переменных. Измеряя и связывая дисперсию каждой переменной, корреляция дает представление о силе взаимосвязи. Или, говоря иначе, корреляция отвечает на вопрос: сколько переменная A (независимая переменная) объясняет переменную B (зависимую переменную)?

Формула корреляции

Корреляция объединяет несколько важных и связанных статистических понятий, а именно дисперсию и стандартное отклонение. Разница — дисперсия переменной вокруг среднего, а стандартное отклонение — квадратный корень дисперсии.

Формула:

Поскольку корреляция требует оценки линейной зависимости двух переменных, то, что действительно необходимо, — это выяснить, какая сумма ковариации этих двух переменных и в какой степени такая ковариация отраженные стандартными отклонениями каждой переменной в отдельности.

Общие ошибки с корреляцией

Самая распространенная ошибка — предполагать, что корреляция, приближающаяся +/- 1, статистически значима. Считывание, приближающееся +/- 1, безусловно увеличивает шансы на фактическую статистическую значимость, но без дальнейшего тестирования это невозможно узнать.

Статистическое тестирование корреляции может усложняться по ряду причин; это совсем не так просто. Критическое предположение о корреляции состоит в том, что переменные независимы и связь между ними является линейной.

Вторая наиболее распространенная ошибка — забыть нормализовать данные в единую единицу. Если вычислять корреляцию по двум бетам, то единицы уже нормализованы: сама бета является единицей

Однако, если вы хотите скорректировать акции, важно, чтобы вы нормализовали их в процентном отношении, а не изменяли цены. Это происходит слишком часто, даже среди профессионалов в области инвестиций

Для корреляции цен на акции вы, по сути, задаете два вопроса: каково возвращение за определенное количество периодов и как этот доход коррелирует с возвратом другой безопасности за тот же период? Это также связано с тем, что корреляция цен на акции затруднена: две ценные бумаги могут иметь высокую корреляцию, если доход составляет ежедневно процентов за последние 52 недели, но низкая корреляция, если доход ежемесячно > изменения за последние 52 недели. Какая из них лучше»? На самом деле нет идеального ответа, и это зависит от цели теста. ( Улучшите свои навыки excel, пройдя курс обучения Excel в Академии Excel. ) Поиск корреляции в Excel

Существует несколько методов расчета корреляции в Excel

Самый простой способ — получить два набора данных и использовать встроенную формулу корреляции:

Это удобный способ расчета корреляции между двумя наборами данных. Но что, если вы хотите создать корреляционную матрицу во множестве наборов данных? Для этого вам нужно использовать плагин анализа данных Excel. Плагин можно найти на вкладке «Данные» в разделе «Анализ».

Выберите таблицу возвратов. В этом случае наши столбцы имеют названия, поэтому мы хотим установить флажок «Ярлыки в первой строке», поэтому Excel знает, как обрабатывать их как заголовки. Затем вы можете выбрать вывод на том же листе или на новом листе.

Как только вы нажмете enter, данные будут автоматически сделаны. Вы можете добавить текст и условное форматирование, чтобы очистить результат.

Особенности использования функций КОВАР, КОВАРИАЦИЯ.В и КОВАРИАЦИЯ.Г в Excel

Функция КОВАР имеет следующий синтаксис:

= КОВАР(массив1;массив2)

Функция КОВАРИАЦИЯ.В имеет следующую синтаксическую запись:

= КОВАРИАЦИЯ.В(массив1;массив2)

Синтаксис функции КОВАРИАЦИЯ.Г:

= КОВАРИАЦИЯ.Г(массив1;массив2)

Все рассматриваемые функции принимают на вход следующие аргументы:

• массив1 – обязательный аргумент, характеризующий первый массив или диапазон ячеек, содержащих данные числового типа, которые являются всей генеральной совокупностью данных (для функций КОВАРИАЦИЯ.Г и КОВАР) или выборкой (для функции КОВАРИАЦИЯ.В);
• массив2 – обязательный аргумент, характеризующий второй массив или диапазон ячеек с числовыми значениями (генеральная совокупность либо выборка, чем обусловлен выбор функции для расчета).

Примечания 1:

1. Все рассматриваемые функции принимают в качестве аргументов массивы или ссылки на диапазоны ячеек, содержащие текстовые, логические, числовые и данные других типов.
2. Число элементов в диапазонах или массивах, переданных в качестве аргументов массив1 и массив2 должны совпадать. В противном случае все рассматриваемые функции вернут код ошибки #Н/Д.
3. При расчете не учитываются значения типа Текст, Имя, логические значения (ИСТИНА, ЛОЖЬ), ссылки на пустые ячейки. Однако ячейки, содержащие числовое значения 0 (нуль), будут учтены.
4. Если рассматриваемые функции в качестве аргументов принимают:

• Диапазоны пустых ячеек, результатом их выполнения будет код ошибки #ЗНАЧ! (принимают по одной пустой ячейке в качестве каждого аргумента) или #ДЕЛ/0! (принимают по несколько пустых ячеек в качестве аргументов);
• Массивы, состоящие из одного элемента или по одной ячейке в качестве каждого аргумента, функции КОВАРИАЦИЯ.Г и КОВАР вернут числовое значение 0, а функция КОВАРИАЦИЯ.В – код ошибки #ДЕЛ/0!.

Примечания 2:

1. Ковариация – величина, характеризующая линейную зависимость, установившуюся между двумя рядами случайных величин X и Y. Она соответствует математическому ожиданию произведения отклонений X и Y от их центров распределений. Коэффициент ковариации может быть выражен отрицательным, положительным числами и нулем, при этом:

• Если с ростом значений X более вероятные появления больших значений Y и наоборот, между двумя диапазонами существует прямая связь, о чем свидетельствует положительное значение коэффициента ковариации;
• Если с ростом X величина Y имеет тенденцию к снижению и наоборот, устанавливается обратная зависимость, выражаемая отрицательным значением коэффициента ковариации;
• Если между X и Y устанавливается слабая взаимосвязь (при изменениях X изменения Y являются непоследовательными, хаотичными), значение коэффициента ковариации стремится к нулю.

Примечания 3:

1. Функция КОВАР являлась стандартной функцией для расчета ковариации в ранних версиях Excel (2007 и более старых) и оставлена для обеспечения совместимости. В последующих версиях Excel она может отсутствовать, поэтому рекомендуется использовать функции КОВАРИАЦИЯ.В и КОВАРИАЦИЯ.Г.
2. Выборка – это подмножество величин одного множества, называемого генеральной совокупностью. Другими словами, выборкой считается результат ограниченного ряда наблюдений какого-либо одно или нескольких признаков. Например, при изучении банковской системы государства генеральной совокупностью являются все банковские организации страны, а выборкой – банки города Санкт-Петербург.
3. В отличие от коэффициента корреляции, значение коэффициента ковариации не ограничено диапазоном чисел от -1 до 1.
4. При определении коэффициента ковариации одних и тех же двух диапазонов чисел функции КОВАР и КОВАРИАЦИЯ.Г вернут одинаковый результат, отличающийся от числового значения, которое вернет функция КОВАРИАЦИЯ.В, поскольку они используют разные алгоритмы расчетов.

15.4 Корреляция

Корреляция — это мера ассоциации/связи двух числовых переменных. Помните, что бытовое применение этого термина к категориальным переменным (например, корреляция цвета глаз и успеваемость на занятиях по R) не имеет смысла с точки зрения статистики.

15.4.1 Корреляция Пирсона

Коэффициент корреляции Пирсона — базовый коэффициент ассоциации переменных, однако стоит помнить, что он дает неправильную оценку, если связь между переменными нелинейна.

\

где

• \((x_1, y_1), …, (x_n, y_n)\) — пары наблюдений;
• \(\bar{x}, \bar{y}\) — средние наблюдений;
• \(X, Y\) — векторы всех наблюдений;
• \(n\) — количество наблюдений.

Последнее уравнение показывает, что коэффициент корреляции Пирсона можно представить как среднее (с поправкой, поэтому \(n-1\), а не \(n\)) произведение \(z\)-нормализованных значений двух переменных.

Эта нормализация приводит к тому, что

• значения корреляции имеют те же свойства знака коэффициента что и ковариация:
  • если коэффициент положительный (т. е. много красных прямоугольников) — связь между переменными положительная (чем больше \(x\), тем больше \(y\)),
  • если коэффициент отрицательный (т. е. много синих прямоугольников) — связь между переменными отрицательная (чем больше \(x\), тем меньше \(y\));
• значение корреляции имееет независимое от типа данных интеретация:
  • если модуль коэффициента близок к 1 или ему равен — связь между переменными сильная,
  • если модуль коэффициента близок к 0 или ему равен — связь между переменными слабая.

Для того чтобы было понятнее, что такое корреляция, давайте рассмотрим несколько расспределений с разными значениями корреляции:

Как видно из этого графика, чем ближе модуль корреляции к 1, тем боллее компактно расположены точки друг к другу, чем ближе к 0, тем более рассеяны значения. Достаточно легко научиться приблизительно оценивать коэфициент корреляции на глаз, поиграв 2–5 минут в игру “Угадай корреляцию” здесь или здесь.

В R коэффициент корреляции Пирсона можно посчитать при помощи функции .

Проверим, что функция выдает то же, что мы записали в формуле.

Посчитайте на основе датасета с температурой корреляцию между разными измерениями в шкалах Фарингейта и Цельсия? Результаты округлите до трех знаков после запятой.

Вычисляем коэффициент ковариации.

1.1. Вычислим оценку математического ожидания случайной величины Х1.1.1.₁₂₁₁1.1.2.M_x =  51.0000001.2. Аналогичным образом вычислим оценку математического ожидания случайной величины Y1.2.1.₁₂₁₁1.2.2.M_y =  13.1818181.3._kxky1.4._kxkyТаблица 1

1.5.cov(X,Y)1.5.1.₁₂₁₁1.5.2.ОТВЕТ:      cov(X,Y) =  -3.090909

Коэффициент корреляции в Excel: что это, как рассчитать? Формула, пример, анализ данных онлайн

Примеры

Допустим, в каком-то эксперименте в равные промежутки времени измеряют две величины, X и Y. Если их значения меняются, как на этом графике, то это полностью коррелированные величины с
коэффициентом корреляции, равным +1.

Этот факт говорит о том, что между величинами X и Y имеется строгая функциональная зависимость: Y=f(X).

Допустим, в каком-то эксперименте в равные промежутки времени измеряют две величины, X и Y. Если их значения меняются, как на следующем графике, то это полностью антикоррелированные величины
с коэффициентом корреляции, равным -1.

Этот факт также говорит о том, что между величинами X и Y имеется какая-то строгая функциональная зависимость: Y=g(X).

Теперь рассмотрим реальные цены. Для примера рассмотрим коэффициенты корреляции между ценами валютной пары EURUSD и ценами валютных пар GBPUSD, USDCHF и USDJPY. Для расчета возьмем дневные графики за
первую половину 2017 года.

EURUSD

GBPUSD

USDCHF

USDJPY

Расчеты, сделанные по ценам закрытия тайм-фреймов дают следующие коэффициенты корреляции за полгода:

• ρ(eurusd,gbpusd)=0.8030
• ρ(eurusd,usdchf)=-0.9598
• ρ(eurusd,usdjpy)=-0.4802

Эти коэффициенты корреляции достаточно ожидаемые.

Достаточно сильная корреляция между EURUSD и GBPUSD объясняется достаточно сильными связями экономики ЕвроЗоны и экономики Британии. Очень сильная антикорреляция между EURUSD и USDCHF объясняется еще
более сильной связью между экономиками ЕвроЗоны и Швейцарии. А знак минус получился потому что в валютной паре USDCHF швейцарский франк стоит в знаменателе, в то время как в валютной паре EURUSD евро
стоит в числителе.

Интересно посмотреть не только коэффициенты корреляции разных валютных пар, но и то, как эти коэффициенты изменяются со временем. Для этого возьмем внутри полугодового периода трехмесячный период и
посмотрим, как меняется коэффициент корреляции, если сдвигать этот трехмесячный период от начала полугодового периода до его конца. Всего за полгода будет 65 таких сдвижек.

В начале 2017 года корреляция между EURUSD и GBPUSD была небольшой и она даже немного уменьшалась. Но в середине полугодия корреляция между евро и фунтом усилилась. Таким образом, в определенное время
фунт может не слишком хорошо коррелировать с евро.

А вот в первую половину 2017 года швейцарский франк оказался привязанным к евро очень сильно. Коэффициент корреляции менялся в пределах от -0.96 до -0.78. Это и понятно, ведь Швейцария со всех сторон
окружена ЕвроЗоной. Поэтому её экономика должна быть сильно связана с экономикой ЕвроЗоны. Гораздо сильнее, чем британская экономика с экономикой ЕвроЗоны.

А вот что касается евро и йены, то тут ситуация самая интересная. В начале первого полугодия 2017 года была антикорреляция выше средней, примерно -0.71. Потом эта антикорреляция исчезла до нуля. Но на
этом изменения коэффициента корреляции не остановились. Коэффициент корреляции вырос до +0.2564. Так как евро в валютной паре EURUSD находится в числителе, а йена в валютной паре USDJPY находится в
знаменателе, то получается, что в начале года евро и йена сильно коррелировали, а к середине года стали слегка антикоррелировать.